정상분포를 이용한 가설검증의 예

간만에 난 짬을 통해서 통계공부를 다시 해봅시다. 

정상분포를 이용하여, 가설검증의 간단한 예제를 풀어보겠습니다. 이 예제는, 행동과학을 위한 통계학 이라는 책에서 퍼온것입니다. 

GRE(graduate record examination)시험이 있었습니다. 이 시험의 언어영역의 평균은 489점이고 표전편차는 126점 이었습니다. 그런데 지원자중에서 한국식 이름을 가진 지원자가 있었습니다!! 제이름 장*원 처럼 말이죠!ㅋㅋ 그런데 이 학생의 언어점수는 220점으로 매우 낮은 겁니다.ㅠ 그랬을 때, 이 지원자는 모국어가 영어일까요? 아니면 한국어와 같은 외국어(미국시험이니까 미국기준으로)일까요? 외국인이라면 언어점수가 낮더라도 이 학생은 지원한 대학에서 수학이 가능하다고 판단할 수도 있지만 만약 모국어가 영어였다면 이 학생은 사실, 언어영역 점수만으로도 떨어뜨리기에 충분하지 않겠습니까? 그래서 이런 논의가 필요하다는것이죠 ( 물론 책에서 이렇게 말합니다..)

그렇다면 가능성은 두가지 입니다. 

1. 이 학생의 모국어는 영어이다. 

2. 이 학생의 모국어는 영어가 아니다. 

이 두가지 가설에 대해 합리적인 결론을 내리기 위해 영가설을 세우기로 합니다. 

영가설, Ho: μ= 489 이런 영가설을 세웁니다. 

영 가설을 검증해서 기각된다면 대립가설인 μ≠489 라는 결론을 내릴 수 있는것이고, 이는, 이 학생이 추출될때, 평균이 489인 집단에서( 모국어를 영어로 사용하는 집단에서) 추출되었을 확률은 0.05 보다 작다고 말할 수 있는 것입니다. 

( μ= 489  인 집단이 모국어가 영어인 집단이고, μ≠489  이 모국어가 영어가 아닌 집단 입니다.)

그렇다면 이 경우엔, 일방검증을 해야 할까요? 아니면 양방검증을 해야 할까요? 일방검증을 해야 합니다. 왜냐? 이 문제에서, 양방검증을 하게 되면 모국어가 영어가 아닌 학생이 모국어가 영어인 학생보다 영어시험의 성적이 더 높다 라는 기대를 하기란 어렵기 때문이죠. 

따라서 대립가설은 

H1  < 489 라는 대립가설을 세웁니다. 

이제 영가설이 참일 때 어떤 학생이 적어도 220점을 맞을 확률을 계산해 봅니다.  우선 원점수 220에 해당하는 표준점수 (z score) 를 계산합니다. 

이제 z점수를 보여주는 표를 찾아서 z값이 -2.13보다 작거나 같을 확률을 계산해 봅니다. (표를 찾아요). 표에서 이 확률이 0.017 이라는 것을 알 수 있습니다. 유의도 수준 p<0.05 보다 이 확률은 작게 됨으로 이 학생은 모국어가 영어인 집단에서 추출되었을 확률은 0.017로 매우 작은 겁니다. 그래서 영가설을 기각 할 수 있고, 이 학생은 모국어가 영어가 아닌 학생일것이라고, 유의도 수준 0.05에서 말 할 수 있습니다.